Уравнения движения центра масс самолета. Уравнения продольного движения самолета Понятие о составляющих продольного движения самолета

Кафедра: ТАУ

РАСЧЁТ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЁТА

Введение

1. Математическое описание продольного движения самолета

1.1 Общие сведения

1.2 Уравнения продольного движения самолета

1.3 Силы и моменты при продольном движении

1.4 Линеаризованные уравнения движения

1.5 Математическая модель привода стабилизатора

1.6 Математические модели датчиков угловой скорости и перегрузки

1.7 Математическая модель датчика положения штурвала

2. Техническое задание на разработку алгоритма ручного управления продольным движением самолета

2.1 Общие положения

2.2 Требования к статическим характеристикам

2.3 Требования к динамическим характеристикам

2.4 Требования к разбросам параметров

2.5 Дополнительные требования

3. План выполнения курсовой работы

3.1 Этап анализа

Введение

Целью курсовой работы является закрепление материала первой части курса ТАУ и освоение модальной методики расчета алгоритмов управления на примере синтеза закона управления продольным движением самолета. Методические указания содержат вывод математических моделей продольного движения самолета, электрогидравлического привода руля высоты, датчиков положения штурвала, угловой скорости тангажа, перегрузки, а также приводятся числовые данные для гипотетического самолета.

Одним из наиболее ответственных и трудных моментов при реализации методики модального синтеза является выбор желаемых собственных значений. Поэтому приведены рекомендации по их выбору.

    Математическое описание продольного движения самолета

    1. Общие сведения

Полет самолета осуществляется под влиянием сил и моментов, действующих на него. Отклоняя органы управления, летчик может регулировать величину и направление сил и моментов, тем самым, изменяя параметры движения самолета в желаемую сторону. Для прямолинейного и равномерного полета необходимо, чтобы все силы и моменты были уравновешены. Так, например, в прямолинейном горизонтальном полете с постоянной скоростью подъемная сила равна силе тяжести самолета, а тяга двигателя – силе лобового сопротивления. При этом обязательно должно соблюдаться и равновесие моментов. В противном случае самолет начинает вращаться.

Равновесие, созданное летчиком, может быть нарушено воздействием какого-либо возмущающего фактора, например, турбулентностью атмосферы или порывами ветра. Поэтому когда режим полета установлен, требуется обеспечить устойчивость движения.

Другой важнейшей характеристикой самолета является управляемость. Под управляемостью самолета понимают его способность реагировать на перемещение рычагов управления (органов управления). О хорошо управляемом самолете летчики говорят, что он хорошо «ходит за ручкой». Это означает, что для выполнения требуемых маневров летчику необходимо совершить простые по характеру отклонения рычагов и прилагать к ним небольшие по величине, но четко ощутимые усилия, на которые самолет отвечает соответствующими изменениями положения в пространстве без излишнего запаздывания. Управляемость – важнейшая характеристика самолета, определяющая возможность полета. На неуправляемом самолете летать невозможно.

Летчику одинаково трудно управлять самолетом, когда требуется прикладывать большие усилия к рычагам управления и выполнять большие перемещения штурвала, а также когда отклонения штурвала и усилия, потребные для их отклонения, слишком малы. В первом случае летчик быстро утомляется при совершении маневров. О таком самолете говорят, что он «тяжел в управлении». Во втором случае самолет реагирует на малое, иногда даже непроизвольное перемещение ручки, требуя от летчика большого внимания, точного и плавного управления. О таком самолете говорят что он «строг в управлении» .

На основе летной практики и теоретических исследований установлено, какими должны быть характеристики устойчивости и управляемости, чтобы удовлетворить требованиям удобного и безопасного пилотирования. Один из вариантов формулирования этих требований представлен в техническом задании на курсовую работу.

    1. Уравнения продольного движения самолета

Обычно полёт самолёта рассматривают как движение в пространстве абсолютно жёсткого тела. При составлении уравнений движения используют законы механики, позволяющие в самом общем виде записать уравнения движения центра масс самолёта и его вращательного движения вокруг центра масс.

Исходные уравнения движения вначале записывают в векторной форме

m – масса самолета;

– равнодействующая всех сил;

– главный момент внешних сил самолёта, вектор суммарного вращающего момента;

– вектор угловой скорости системы координат;

– момент количества движения самолёта;

t – время.

Знак «» обозначает векторное произведение. Далее переходят к обычной скалярной записи уравнений, проектируя векторные уравнения на некоторую систему координатных осей.

Получаемые общие уравнения оказываются настолько сложными, что, по существу, исключают возможность проведения наглядного анализа. Поэтому в аэродинамике летательных аппаратов вводятся различные упрощающие приёмы и предположения. Очень часто оказывается целесообразным разделить полное движение самолёта на продольное и боковое. Продольным называется движение с нулевым креном, когда вектор силы тяжести и вектор скорости самолёта лежат в его плоскости симметрии. Далее будем рассматривать только продольное движение самолёта (рис. 1).

Это рассмотрение будем вести с использованием связанной ОXYZ и полусвязанной ОX e Y e Z e систем координат. За начало координат обеих систем принимается точка, в которой расположен центр тяжести самолета. Ось ОX связанной системы координат проводится параллельно хорде крыла и называется продольной осью самолета. Нормальная ось ОY перпендикулярна оси ОX и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ перпендикулярна к осям ОX и ОY , а следовательно, и к плоскости симметрии самолета. Она называется поперечной осью самолета. Ось ОX e полусвязанной системы координат лежит в плоскости симметрии самолета и направлена по проекции на неё вектора скорости. Ось ОY e перпендикулярна оси ОX e и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ e перпендикулярна к осям ОX e и ОY e .

Остальные обозначения, принятые на рис. 1: – угол атаки, – угол тангажа, – угол наклона траектории, – вектор воздушной скорости, – подъемная сила, – сила тяги двигателей, – сила лобового сопротивления, – сила тяжести, – угол отклонения рулей высоты, – момент тангажа, вращающий самолёт вокруг оси ОZ .

Запишем уравнение продольного движения центра масс самолёта

, (1)

где – суммарный вектор внешних сил. Представим вектор скорости с использованием его модуля V и угла его поворота относительно горизонта:

Тогда производная вектора скорости по времени запишется в виде:

. (2)

С учётом этого уравнения продольного движения центра масс самолёта в полусвязанной системе координат (в проекциях на оси ОX e и ОY e ) примут вид:

Уравнение вращения самолёта вокруг связанной оси OZ имеет вид:

где J z – момент инерции самолета относительно оси OZ , M z – суммарный вращающий момент относительно оси OZ .

Полученные уравнения полностью описывают продольное движение самолета. В курсовой работе рассматривается только угловое движение самолёта, поэтому далее будем учитывать только уравнения (4) и (5).

В соответствии с рис. 1, имеем:

угловая скорость вращения самолёта вокруг поперечной оси OZ (угловая скорость тангажа).

При оценке качества управляемости самолета большое значение имеет перегрузка. Она определяется как отношение действующей на самолёт суммарной силы (без учёта веса) к силе веса самолёта. В продольном движении самолёта используют понятие «нормальная перегрузка». По ГОСТ 20058–80 она определяется как отношение проекции главного вектора системы сил, действующих на самолёт, без учёта инерционных и гравитационных сил, на ось OY связанной системы координат к произведению массы самолёта на ускорение свободного падения:

Переходные процессы по перегрузке и угловой скорости тангажа определяют оценку летчиком качества управляемости продольного движения самолета.

    1. Силы и моменты при продольном движении

Силы и моменты, действующие на самолёт, – это сложные нелинейные функции, зависящие от режима полёта и положения управляющих органов. Так, подъёмная сила Y и сила лобового сопротивления Q записываются в виде:

. (10)движения . Нарушения безопасности движения Обеспечение безопасности движения . Организация обеспечения безопасности движения . Управление безопасностью движения . Безопасность движения ...

  • Лекции по Безопасности жизнедеятельности

    Реферат >> Безопасность жизнедеятельности

    Нарушению управления движением на... самолетов - специальные аппараты, рассеивающие насекомых с самолетов . ... соответствии с федеральными законами законы и иные нормативные... расчётов . Бывший начальник управления ... пенале с продольными по­луовальными вырезками...

  • Факторы обеспечения безопасности полетов

    Курсовая работа >> Транспорт

    ... Управление воздушным движением УГА – Управление Гражданской Авиации УГАН – Управление ... входят: национальные законы , международные соглашения... интервала продольного эшелонирования... расчёта траектории движения ... перегрузки (4,6) самолет разрушился и загорелся...

    • В продольной плоскости на самолет действуют сила тяжести G = mg (рис. 1.9), направленная по вертикали, подъемная сила У, направленная перпендикулярно скорости набегающего потока, сила лобового сопротивления X, направленная по скорости этого потока, и тяга двигателей Р, направленная к потоку под углом, близким к углу атаки а (полагая угол установки двигателей относительно оси Ох і равным нулю).

    Продольное движение самолета наиболее удобно рассматривать в скоростной системе координат. В этом случае проекция вектора скорости на ось Оу равна нулю. Угловая скорость вращения каса­тельной к траектории движения центра масс относительно оси Ог

    <ог= -В = & - а.

    Тогда уравнения движения центра масс самолета в проекциях на оси Ох и Оу имеют следующий вид:

    проекции сил на ось Ох (касательную к траектории):

    mV = - X-Osm0-f-/°cosa; (1.2)

    проекции сил на ось Оу (нормаль к траектории):

    mVb = Y - G cos 0 — f~ Z3 sin a. (1.3)

    Уравнения, описывающие вращение самолета относительно центра масс, наиболее простыми получаются в связанной системе

    координат, поскольку ее оси сов­падают с главными осями инер­ции. Так как при рассмотрении изолированного продольного дви­жения полагаем р=0 (при этом условии скоростная система ко­ординат совпадает с полусвязан — ной) и, следовательно, ось Ог ско­ростной системы координат сов­падает с осью Ozi связанной системы, то уравнение моментов относительно оси Oz имеет вид:

    где /2 - момент инерции самолета относительно оси Ог;

    Мг - аэродинамический момент тангажа, продольный момент.

    Для анализа характеристик продольного движения самолета относительно его центра масс необходимо добавить уравнение свя­зи углов атаки, тангажа и наклона траектории:

    При рассмотрении динамики продольного траєкторного движе­ния самолета - движения его центра масс относительно земли - необходимы еще два кинематических уравнения:

    xg = L*=V COS0; (1.6)

    yg - H = V sin б, (1.7)

    где Н - высота полета;

    L - пройденное расстояние вдоль оси Oxg земной системы координат, кото­рая предполагается совпадающей по направлению с осью Ох скоростной системы.

    В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические силы и моменты являются нелинейными функциями следующих параметров:

    Х=Х(*% I7, М, Ря);

    Г = Г(*9 1/, м, Ря);

    M2 = Mz(bв. <*» а, V, М, рн),

    : (ая “ скорость звука на высоте полета);

    ря - плотность воздуха на высоте полета; бв - угол отклонения руля высоты.

    Эти силы и моменты могут быть записаны через аэродинамиче­ские коэффициенты:

    где Cx - Cx (a, M) -коэффициент лобового сопротивления;

    Су -Су (a, М) -коэффициент подъемной силы;
    mz-mz (бв, a, a, d, M) -коэффициент продольного момента M%

    S - площадь крыла самолета;

    Ьа -средняя аэродинамическая хорда САХ.

    Тяга двигателей также является нелинейной функцией ряда па­раметров:

    Р = Р(8д) М, рн, Тя),

    где бл - перемещение органа, управляющего тягой двигателей; ри -давление на высоте полета;

    Тя - абсолютная температура воздуха на высоте полета.

    Будем рассматривать в качестве невозмущенного движения ус­тановившееся прямолинейное движение

    Полагаем, что параметры возмущенного движения могут быть выражены через их установившиеся значения и малые приращения:

    а = а0-4-Да;

    Є-VU;

    Проведя с учетом (1.15) линеаризацию уравнений возмущенно­го движения (1.2-1.7) и принимая во внимание уравнения невоз­мущенного движения (1.9-1.14), получим систему линейных диф­ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами :

    mbV = - XvbV - Xм ДМ -Х“Да- А^р&Д yg- G cos 0ОД0 — f + COS а0ДМ - P0 sin а0Да — f P? cos а0рйдyg -f P T COS а„Тун^Уе +

    cos «0Д8д; (1.16)

    mV^b = YVW + КмДМ + К“Да — f Кіу Дyg + О sin 0ОД6 +

    РМ sin аоДМ + PQ cos а0Да — f P? sin а0р^Дyg +

    P T sin *ъТу„Ьув + P5 sin а0Д5д; (1.17)

    Izb = M ® Д8В — f M’M — f МІДа — f AlfbA — f

    дХ, дХ < vrp дХ

    У - ‘ Л 1 — ——

    В этих уравнениях для упрощения письма введены символиче­ские обозначения частных производных:

    При исследовании динамики захода на посадку и посадки са­молета уравнения (1.16-1.18) могут быть упрощены за счет пре­небрежения (по их малости) членами, содержащими производные по параметрам р, Т, производными аэродинамических сил и их мо­ментов по числу М. По аналогичным соображениям производную Ям можно заменить производной Pv, а приращение ДМ - прира­щением XV. Кроме того, в уравнении моментов необходимо учесть, что Mzv = 0 и Мрг =0, поскольку коэффициент момента mZo = 0. Тогда уравнения (1.16-1.18) примут вид:

    mAV=-XvAV — Х’1Ая — О cos 0ОД0 + Pv cos а0ДК —

    Р„ s і П а0Д а — f — Р5 cos а0Д&л; (1.16а)

    mV0A

    Я0 cos а0Да-(-Р8 sin а0Д8д; (1.17a)

    1$ = Щ Д8В + м Да + М Да + Д 8;

    Yv=c!/oSpV0; Ya = cauS ;

    Значения коэффициентов Cti Су, Cx, Су, niz, fflz, fflz, tftz Оп­ределяют с помощью графиков, составляемых на основании резуль­татов продувки моделей самолетов в аэродинамических трубах и летных испытаний самолета.

    Характеристики Рь необходимы при рассмотрении случаев, ког­да в возмущенном движении происходит перемещение органа, управляющего тягой, например, при рассмотрении продольного движения самолета, одновременно управляемого автопилотом и автоматом тяги (автоматом скорости). Если же в процессе возму­щенного движения Д6д=0, то последний член в уравнениях (1.16 и 1.17) равен нулю.

    Анализируя устойчивость движения неуправляемого самолета {с зажатыми органами управления), нужно учитывать, что устой­чивость такого движения совершенно не зависит от координаты хе и практически не зависит, вследствие пренебрежения влиянием Рн и Тн, от координаты yg. Поэтому при анализе устойчивости дви­жения самолета без системы автоматического управления уравне­ния (1.19 и 1.20) можно исключить из рассмотрения.

    105" height="32">

    Л, . « . Юг-^ =M-A. v0 K0

    Заметим, что члены, содержащие управляющие координаты 6Д и 6В, находятся в правой части уравнений. Характеристический полином для системы уравнений движения неуправляемого само­лета (с зажатыми органами управления) имеет следующий вид:

    А (р) = Р4 -f яjP3 + йоР2 + а3р — f д4, (1.24)

    где йі = йу + £а-+ — f г — ;

    + — f с. + ^ь+с;)(«vr -60);

    Й3 = Г« (rtK ~ + + + ^4)(a6^V ~av b*)>

    ai - ca{atbv - avbH).

    Согласно критерию Гурвица-Рауса движение, описываемое уравнением четвертого порядка, устойчиво тогда, когда коэффици­енты аь а2, а3 и а4 положительны и а3(аіа2-аз)-а4аі2>0.

    Эти условия обычно удовлетворяются не только для режимов захода на посадку, но и для всех эксплуатационных режимов поле­та дозвуковых гражданских самолетов. Корни характеристического полинома (1.24) обычно комплексно-сопряженные, различные по величине, и им соответствуют два различных колебательных движе­ния. Одно из этих движений (короткопериодическое) имеет малый период с сильным затуханием. Другое движение (длиннопериоди­ческое, или фугоидное) является медленно затухающим движением с большим периодом.

    Вследствие этого возмущенное продольное движение может рассматриваться как взаимное наложение этих двух движений. Учитывая, что периоды этих движений весьма различны и что ко­роткопериодическое колебание сравнительно быстро затухает (за 2-4 сек), оказывается возможным рассматривать короткоперио­дическое и длиннопериодическое движения изолированно друг от друга.

    Возникновение короткопериодического движения связано с на­рушением равновесия моментов сил, действующих в продольной плоскости самолета. Это нарушение может быть, например, резуль­татом воздействия ветрового возмущения, приводящего к измене­нию угла атаки самолета, аэродинамических сил и моментов. Вследствие нарушения равновесия моментов самолет начинает поворачиваться относительно поперечной оси Oz. Если движение устойчиво, то он вернется к прежнему значению угла атаки. Если же нарушение равновесия моментов произошло вследствие откло­нения руля высоты, то самолет в результате короткопериодического движения выйдет на новый угол атаки, при котором равновесие мо­ментов, действующих относительно поперечной оси самолета, вос­станавливается.

    За время короткопериодического движения скорость самолета не успевает значительно измениться.

    Поэтому при исследовании такого движения можно полагать, что оно происходит при скорости невозмущенного движения, т. е. можно принять ДУ-0. Полагая исходный режим близким к гори­зонтальному полету (0«О), можно исключить из рассмотрения член, содержащий Ьд.

    В этом случае система уравнений, описывающих короткоперио­дическое движение самолета, принимает следующий вид:

    Дб - &аДа=0;

    Д б + е j Д& — f ск Да — f саДа == с5Дйв; Дб = Д& - Да.

    Характеристический полином для этой системы уравнении имеет вид:

    Л(/>)к = д(/>2 + аі/> + а. Ф где а=ьЛск+с> Ї

    Короткопериодическое движение устойчиво, если коэффициенты «і и 02 положительны, что обычно и имеет место, поскольку в об ласти эксплуатационных режимов величины b*, сх, г» и сущест­венно положительны.

    ния стремится к нулю. При этом величина

    частоту собственных колебаний самолета в короткопериодическом движении, а величина --- их затухание. Первая величина определяется главным образом коэффициентом ml, характеризу­ющим степень продольной статической устойчивости самолета. В свою очередь коэффициент ml зависит от центровки самолета, т. е. от взаимного расположения точки приложения аэродинамиче­ской силы и центра масс самолета.

    Вторая величина, обусловливающая затухание, определяется

    в большой степени коэффициентами моментов mlz и т% ■ Коэффи­циент т’"гг зависит от площади горизонтального оперения и его расстояния от центра масс, а коэффициент ml еще и от запаздыва­ния скоса потока у оперения. Практически, вследствие большого затухания, изменение угла атаки имеет характер, близкий к апе­риодическому.

    Нулевой корень р3 указывает на нейтральность самолета отно­сительно углов д и 0. Это является следствием сделанного выпи упрощения (ДУ = 0) и исключения из рассмотрения сил, связанным с изменением угла тангажа, что допустимо только для начального периода возмущенного продольного движения - короткопериоди ческого *. Изменения углов A# и ДО рассматриваются в длиннопе риодическом движении, которое упрощенно можно считать начина­ющимся после окончания короткопериодического движения. При

    1 Подробно по этому вопросу см .

    этом Ла=0, а величины углов тангажа и наклона траектории отлич­ны от значений, имевших место в исходном невозмущенном движе­нии. Вследствие этого нарушается равновесие проекций сил на касательную и нормаль к траектории, что приводит к возникнове­нию длиннопериодических колебаний, в процессе которых происхо­дят изменения не только углов О и 0, но и скорости полета. При условии устойчивости движения равновесие проекций сил восста­навливается и колебания затухают.

    Таким образом, для упрощенного исследования длиннопериоди­ческого движения достаточно рассмотреть уравнения проекций сил на касательную и нормаль к траектории, полагая Да = 0. Тогда сис­тема уравнений продольного движения принимает вид:

    (1.28)

    Характеристический полином для этой системы уравнений имеет вид:

    где ai = av-b^ a2=abbv - avbb.

    Устойчивость движения обеспечивается при условии «і >0; й2>0. Затухание колебаний существенно зависит от значений про­изводной Pv и коэффициента сХа, а частота собственных колеба­ний- еще и от коэффициента су„ поскольку эти коэффициенты определяют величины проекций сил на касательную и нормаль к траектории.

    Следует отметить, что для случаев горизонтального полета, на­бора высоты и снижения с малыми углами 0 коэффициент Ьв имеет очень малую величину. При исключении члена, содержащего

    из второго уравнения (1.28) получаем at = av; a2 = aebv.

    В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пре­небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.

    только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.

    При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.

    Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша­емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориента­ции оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре­мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.

    Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас­положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал­лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само­лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори­зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

    Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.

    Углом скольжения р называется угол между воздушной ско­ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди­нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.

    Положение связанной системы осей координат OXYZ относи­тельно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему

    координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нор­мальной системы координат.

    При исследовании динамики самолетов используются следу­ющие понятия углов Эйлера.

    Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным напра­влением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло­скость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.

    Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.

    Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вер­тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу­дем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими

    вектора угловой скорости движения самолета относительно нор­мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне­ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:

    со* = Y + sin *&;

    o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

    со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.

    При выводе уравнений движения центра масс самолета необ­ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения

    -^- + о>xV)=# + G, (1.2)

    где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

    R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-

    ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.

    Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:

    т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

    т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>

    где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции

    результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.

    Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис­пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

    Gy = - G cos ft cos у; (1.4)

    GZ = G cos d sin y.

    При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями

    Vх = V cos a cos р;

    Vу = - V sin a cos р;

    Связанная

    Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:

    Rx = - cxqS — f Р cos ([>;

    Rty = cyqS p sin (1.6)

    где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты

    Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)

    Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле

    где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими

    соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):

    ■ф = Кcos У — sin V):

    ■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)

    Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),

    а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движе­ния самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона измене­ния момента количества движения

    -^-=MR-ZxK.(1.9)

    В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->

    К - момент количества движения самолета; MR - главный мо­мент внешних сил, действующих на самолет.

    Проекции вектора момента количества движения К на подвиж­ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

    К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI

    К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

    К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

    Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра­ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви­жения самолета относительно ЦМ:

    h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

    Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инер­ции самолета.

    Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде

    где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.

    Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки­нематических параметров движения и параметров подобия, за­висящих от режима полета:

    у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)

    Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет­ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

    Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара­метров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.

    Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе­ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста­точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следу­ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:

    сх ^ схо 4~ сх (°0»

    У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;

    сг = cfp + СгН6„;

    тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!

    о (0.- (0^- р б б„

    ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;

    тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.

    При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а про­дольный момент может быть представлен в виде

    mz (а) = mzo + т£а,

    где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.

    Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ­ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-

    НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение

    динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра­ботке одновременно определяются величины:

    СО — СО- ,

    тг* = т2г —mz;

    0) , R. Юу I в.

    mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.

    СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft

    ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.

    В работе показано, что для анализа динамики самолета,

    особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-

    тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$

    приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.

    понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в экс­перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра­жения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим

    = % COS а + coA. sina — f -^r }

    Похожие публикации